黑洞、全息术与TT-bar——Monica Guica(第四部分)

好的。那么,欢迎来到关于全息术和TT-bar入门的最后一讲。 很明显,这门课更多是关于全息术的入门,而不是TT-bar。 但计划是,我希望在讲座的前半部分结束我想说的关于全息术的内容,然后在后半部分,我们将应用我们学到的一切来讨论TT-bar,当然只是一个概述,因为我们没有时间来深入讲解,但我希望至少你们能理解其思想。 好的。

一、 上次内容回顾

那么,让我提醒一下我们上次讨论了什么。 上次我们首先讨论了一点共形场论。 这些是在共形变换下保持不变的量子场论。我们讨论了共形代数。 它与高一维度的空AdS空间(反德西特空间)的等距群相同。 我们讨论了算符的性质,什么是主算符,什么是关联函数等等。

然后我们做了一些非常基础的AdS/CFT字典对应。我们主要讨论了一个有质量的标量场,思想是如果我用庞加莱坐标 $z$ 和 $x^\mu$ 来写它,其中 $x^\mu$ 是边界坐标。 该场在边界附近 $z \to 0$ 处的展开形式为:

$$ \phi \sim \phi_k z^{d-\Delta} + \dots + \phi_\Delta z^\Delta + \dots $$

其中 $\Delta$ 通常与场的质量相关,公式为 $\Delta = \frac{d}{2} + \sqrt{\frac{d^2}{4} + m^2L^2}$,有时也可能是负号。

我们讨论了这样一个事实,通常这个是不可归一化模式,它的系数对应于CFT中的源或对偶算符,而这个是可归一化模式,它的值代表了维度为 $\Delta$ 的相应CFT算符的期望值,这个维度通常通过上述关系与体(bulk)场质量相关。好的,所以这就是期望值,这是标准量子化

然而,我们也简要讨论了替代量子化,这是当平方根项的值在0和1之间时可能的。 在那种情况下,你可以选择固定后者,让前者浮动。这也是可能的。 这被称为替代量子化。在这种情况下,对偶理论将包含一个算符,其维度通过带有负号的关系式与体场质量相关。 为了能在CFT中拥有一直到CFT幺正性边界的算符,这样做是必要的。

所以你可以看到,为体场选择不同的边界条件会导致对偶CFT中不同的算符谱。

最后我们讨论了如果我们在CFT作用量中加入多迹线(multi-trace)算符会发生什么。 我们解释了单迹线、双迹线等的概念。 所以,很明显,如果我们决定用多迹线来形变CFT作用量, 我们发现这在体(bulk)中做的事情是为体场施加一个混合边界条件,形式为 $f_{k} - f'(\phi_{\Delta})$ 固定。 对于双迹线,你会固定原始源和真空期望值(vev)的线性组合。 所以,通过多迹线形变CFT作用量,基本上是施加了一个边界条件,其中这两个系数都可以浮动。 然而,这个特定的线性组合是固定的。好的。这就是我们上次所做的。

关于这些内容有什么问题吗? 好的。上次没有问题,现在也没有问题。 那么,一切都很清楚。

本次讲座计划

我们这次要做的是,我将继续讲一点全息术,因为我想告诉你们关于体和边界之间理论对称性的匹配。 然后我将讨论如何从微观上解释BTZ黑洞的熵。 记得我们在第一讲开始时提到的贝肯斯坦-霍金熵。 好的,如果这部分清楚了,让我谈谈全息术中的最后一个主题,即渐进对称性。

二、 全息术中的渐进对称性

好的。正如我在这些笔记中特别强调的,通常我们讨论的真空态的对称性(我在第二讲中讨论过)与理论的对称性是不同的。

理论的对称性与真空态的对称性

对于 $d>2$ 的 $CFT_d$,这两种对称性实际上是相同的。有人能告诉我对于 $d>2$ 的 $CFT_d$ 的对称性是什么吗?只是为了检查你们是否在听。 平移、缩放、洛伦兹对称性和特殊共形变换。非常好。它们构成了什么群? 共形群,我猜是 $SO(d, 2)$。非常好。

所以这些是 $SO(d,2)$,它们既是理论的对称性,也是真空态的对称性。

然而,在二维CFT中,我们看到情况要有趣一些,理论的对称性是两个Virasoro代数。 理论的对称性是 Virasoro $\times$ Virasoro。这些是无限维代数, 而真空的对称性只是 $SO(2,2)$。 这是因为共形反常不允许Virasoro的所有生成元(我们称之为 $L_m$ 和 $\bar{L}_m$)湮灭真空态。

好的,所以现在我们有兴趣从引力的角度理解理论的对称性,并且在 $d=2$ 的情况下,我们希望能重现这个结果。 事实证明,只要你有一个规范理论,比如规范理论或引力,即具有局域对称性,理论的对称性就是所谓的渐进对称性

规范理论中的守恒荷

原因在于这是一个普遍的结果。 你可能从...我不知道... 每当你有一个连续对称性时, 在一个场论中,通常会有一个与之相关的诺特流,这个诺特流在壳(on-shell)是守恒的。 有一个通用的构造方法,一个通用的程序来构造任意理论中的诺特流。 是的,在任意系统中,你有一些对称性,你就有这个诺特流,它在壳守恒,即 $\partial_\mu J^\mu = 0$ 在壳上。那么你如何构造守恒荷呢?

对 $J^0$ 积分。非常好。你基本上是对类时曲面法向的...积分...

$$ Q = \int_{\Sigma} d^{d-1}x \, n_{\mu} J^{\mu} $$

这基本上就是 $J^0$。 这正是你说的。你选择某个空间切片 $\Sigma$, 然后对流到这个切片的法向分量进行积分。

现在,碰巧的是,当你有一个对称性,其参数是局域的, 比如你有一个 $\epsilon(x)$ 或者一个微分同胚 $\xi^\mu(x)$,你仍然可以构造出相关的流, 它在离壳(off-shell)时是一个全散度。 所以对于规范对称性,这个 $J^\mu$ 的形式是所谓的在壳为零的诺特流。 它基本上是某个与运动方程成比例的项, 加上一个全导数项,我写成 $\partial_\nu K^{\nu\mu}$, 其中 $K^{\nu\mu}$ 在其指标上是反对称的。

原则上我们可以在10分钟内证明这一点,但我没有10分钟,因为我还要讲很多内容。但无论是在规范理论还是在引力中,这都是成立的,与局域对称性相关的诺特流都具有这种形式。这基本上意味着,当你写下这个积分时,这个 $J$ 基本上是一个全散度。 你可以重写它。最初它是在整个空间曲面 $\Sigma$ 上的积分。 现在你可以把它重写成只在 $\Sigma$ 的边界上的积分, 比如 $d-2$ 维的积分。 基本上,我要得到类似 $n_\sigma \nu_\mu K^{\sigma\mu}$ 这样的项,我没有仔细考虑符号。

所以这个方程基本上告诉你 $J^0$ 是一个全散度,然后你用那个定理把散度的积分转换成对边界上物体的积分。 这是一个普遍的结果, 它基本上告诉你以下事情。 这到底是什么意思?基本上,如果我们假设在平坦空间中,它告诉你如果你想计算与电磁学相关的电荷,你可以把它当作一个三维积分来计算,但你总可以把它重写成一个在无穷远处的二维球面上的积分。 这应该是你从基础电磁学中熟悉的东西,你可以通过计算法向电场在球边界上的积分来计算某个球体内的总电荷。

到目前为止都清楚吗? 我是说,这是你习惯于从电磁学等领域看到的公式。 但是这有一些后果。出现在这里的这个 $K^{\mu\nu}$ 流确实依赖于规范参数 $\epsilon(x)$。 所以,我把这个曲面 $\partial\Sigma$ 放在无穷远处。 你应该把它想象成位于无穷远处。这告诉你,因为电荷可以写成只在无穷远处的这个物体的积分, 如果 $\epsilon(x)$ 只是在内部某处具有紧支集,如果 $\epsilon(x)$ 实际上在 $\Sigma$ 的边界上为零,那么电荷将恒等于零。

所以如果 $\epsilon(x)$ 在 $\partial\Sigma$ 上为零,我们称这样的变换为平庸的规范变换, 因为它永远不会对系统中的守恒荷,即物理可观测量,做出贡献。 同样地,如果 $\epsilon(x)$ 在 $\partial\Sigma$ 上不为零,我们称之为大规范变换。 更准确地说,我们说它不消失是什么意思? 它的意思是它确实可以对电荷做出贡献。 所以它对守恒荷的贡献非零。

所以这个小论证向你展示了,在规范理论或引力理论中,你的理论的真正对称性 只与那些能够对你理论的可观测量(如守恒荷)做出非平庸贡献的大规范变换相关。 所有其余的,那些紧支集或在边界上消失的规范变换,实际上不携带任何物理信息。 它们是平庸的规范变换,是描述的冗余。

这清楚吗? 对不起,有一件事,你说的 $\epsilon(x)$ 是什么? $\epsilon(x)$。在电磁学中,规范变换是什么? $A_\mu \to A_\mu + \partial_\mu \epsilon(x)$,对吧? 它是规范变换的参数。 在引力中,你告诉我,$g_{\mu\nu}$ 变成什么? $g_{\mu\nu} + \nabla_\mu \xi_\nu + \nabla_\nu \xi_\mu$。 这就是引力中的规范变换。

渐进对称性的定义

所以,我们说规范理论(包括引力)中的对称性是渐进对称性。 任何理论都是由某个作用量定义的, 但也会有一些我们必须施加的边界条件。 这些是理论定义的一部分。正如我之前在AdS的例子中告诉你们的,你对标量场施加不同的边界条件,就会得到不同的谱。 所以很明显,边界条件是理论定义的一部分。

给定一个理论,比如规范理论加上它的边界条件,你可以讨论允许的规范变换, 这些变换是指在对称性变换下,你理论中场的变分(我将通用地表示为 $\phi$) 仍然属于边界条件的范围,如果 $\phi$ 本身属于边界条件。这就是允许的规范变换。 比如,如果你的规范场在渐进区域应该以 $1/r$ 的方式衰减, 你不会允许规范参数以 $r^{15}$ 的方式发散,因为那会破坏函数的性质。

然后是平庸的(trivial)变换,我在这里定义过,它们是那些衰减得如此之快,以至于永远不会对任何物理可观测量做出贡献的变换。 于是人们讨论渐进对称性。 渐进对称性基本上是允许的变换与平庸的变换的商群。

$$ \text{Asymptotic Symmetries} = \frac{\text{Allowed Transformations}}{\text{Trivial Transformations}} $$

基本上,这些才是物理对称性,理论的真正物理对称性。

三、 渐进对称性的例子

例子一:AdS中的麦克斯韦理论

让我给出一个麦克斯韦理论在AdS中的例子。 作用量是 $F_{\mu\nu} F^{\mu\nu}$,对吧?在 $AdS_{d+1}$ 中。 我将在庞加莱坐标 $z$ 和 $x^\mu$ 下工作,其中 $x^\mu$ 平行于边界。 正如我所说,我需要一些边界条件。 我的理论是由一些边界条件定义的,我将采用反射型边界条件。 我规定 $A_m \to 0$ 当 $z \to 0$ 时。我可以在 $A_z = 0$ 的规范下工作,这是一个标准的规范。 在这个规范下,我只看边界条件 $A_\mu = 0$ 在 $z=0$ 处。问题是,允许的规范变换的渐进形式是什么?

为了回答这个问题,我必须要求当我进行规范变换时,$\partial_\mu \epsilon$(它是所有AdS坐标的函数)在 $z=0$ 处等于零。 这是对允许变换的限制,这意味着 $\epsilon(x^\mu, z)$ 必须趋于一个常数 $\epsilon_0$。 所以在 $z^0$ 阶,它必须是一个常数,因为它必须完全不依赖于 $x$。

$$ \epsilon(x^\mu, z) = \epsilon_0 + O(z^2) $$

然后你用这个允许的规范参数去计算守恒荷。 你会发现对于满足这些边界条件的麦克斯韦场的一般构型,只有这个常数项 $\epsilon_0$ 会对守恒荷有非零贡献。 基本上,守恒荷将是法向电场与这个 $\epsilon(x,z)$ 在无穷远处积分。

这个常数项是非平庸的,对电荷有贡献,但更高阶的项是平庸的。 结论是,对于AdS上的麦克斯韦理论,在规范场上施加狄利克雷边界条件时,理论的真正对称性(由允许的规范变换模掉平庸的规范变换给出)将只由这个常数 $\epsilon_0$ 参数化,这是一种全局对称性,作用于AdS的边界上。

这个例子很好,因为正如我可能顺便提到的,全息映射是在AdS中的规范场和CFT中的全局守恒流 $J^\mu$ 之间建立的。 你可能会问这在对称性层面上是如何运作的。这个家伙有 $d+1$ 维的规范对称性,而那个家伙有 $d$ 维的全局对称性。 运作方式是,实际上真正的对称性在两边是相同的。 在这里,它只是 $d$ 维的全局对称性。 而在这里,唯一真正的对称性是AdS上具有狄利克雷边界条件的规范理论的渐进对称性。 我们看到那些正是 $d$ 维的全局对称性。 所以,理论的真正对称性在两边是相同的。

例子二:三维引力的渐进对称性

好的,我们之前讨论了真空,那是理论中的一个特定状态。我们现在想看允许的任意状态,即任意构型,这意味着我们想看渐进AdS时空。 它们只需要在渐进区域接近 $AdS_3$ 度规,我的意思是满足 $R_{\mu\nu} = -2/L^2 g_{\mu\nu}$ 这个方程只在渐进区域成立。

事实证明,渐进AdS时空允许所谓的费弗曼-格雷厄姆(Fefferman-Graham)展开。 我只在三维情况下做,但在更高维度也有类似的表达式。

$$ ds^2 = \frac{L^2}{z^2}dz^2 + \frac{1}{z^2} (g^{(0)}_{\mu\nu} + z^2 g^{(2)}_{\mu\nu} + \dots) dx^\mu dx^\nu $$

其中 $\mu, \nu$ 是边界坐标。 这非常类似于我们之前写的标量场展开。 这个展开是非线性的。 前两项是普适的,只要物质场在无穷远附近表现良好。 在纯三维引力的情况下,展开会终止,还有一个 $z^2$ 项,形式为 $z^2/4 g^{(2)}_{\rho\sigma} g^{(0)\rho\sigma} g^{(2)}_{\sigma\nu}$。 按照我们上节课的说法,这个 $g^{(0)}$ 是源模式,而这个 $g^{(2)}$ 是期望值模式。度规的对偶算符是什么?是应力能张量。 非常好。

通常人们会施加狄利克雷边界条件,这意味着固定 $g^{(0)}$。 然后你会发现 $g^{(2)}$ 精确地与应力张量期望值相关。 现在让我们取 $g^{(0)}$ 等于边界上的闵可夫斯基度规。 事实证明,对于这种边界条件,最一般的解是当 $g^{(2)}$ 的分量具有这种形式时:

$$ g^{(2)}_{++} = L(x^+) \quad , \quad g^{(2)}_{--} = \bar{L}(x^-) $$

其中 $L$ 是 $x^+$ 的任意函数,$\bar{L}$ 是 $x^-$ 的任意函数。

如果我们取 $L$ 和 $\bar{L}$ 为常数且为正,我们得到的就是著名的BTZ黑洞解。 全局AdS度规对应于 $L = \bar{L} = -L^2/4$。

现在我们想研究渐进对称性。我们寻找保持度规渐进形式不变的微分同胚。 结果发现,这些是边界上闵可夫斯基度规的共形变换。

$$ \xi^+ = k(x^+) \quad , \quad \xi^- = \bar{k}(x^-) \quad , \quad \xi^z = \frac{z}{2}(k' + \bar{k}') + \dots $$

为了确定哪些微分同胚是平庸的,哪些不是,我们需要能够计算守恒荷。 一个特别适用于反德西特时空的方法是所谓的布朗-约克(Brown-York)应力张量

这个张量是在时空区域的边界B上定义的,定义方式非常具有全息色彩:

$$ T_{\mu\nu} = -\frac{2}{\sqrt{-\gamma}} \frac{\delta S_{\text{grav, on-shell}}}{\delta \gamma^{\mu\nu}} $$

其中 $\gamma_{\mu\nu}$ 是边界上的诱导度规。 然后守恒荷就是对 $\Sigma$ 边界的积分:

$$ Q_\xi = \int_{\partial\Sigma} d^{d-2}x \, n_\mu u_\nu T^{\mu\nu} \xi^\sigma $$

其中 $u_\nu$ 是到 $\Sigma$ 的类时法向量,$\xi^\sigma$ 是微分同胚。

为了计算这个,我们需要引力的在壳作用量,它包括爱因斯坦-希尔伯特项,吉本斯-霍金边界项,以及在AdS情况下,为了消除发散而添加的边界抵消项。 经过计算,重整化后的布朗-约克应力张量在正负号坐标下就是 $L$ 和 $\bar{L}$。 于是,守恒荷为:

$$ Q_k = \frac{1}{8\pi G} \int d\sigma \, (k(x^+)L(x^+) + \bar{k}(x^-)\bar{L}(x^-)) $$

特别地,我们得到了无限多个守恒荷,因为我们可以将 $k$ 和 $\bar{k}$ 展开成傅里叶模式。 接下来计算这些守恒荷的代数。 两个荷的泊松括号由 $\delta_\eta Q_\xi$ 给出。 计算表明,在微分同胚作用下,$L$ 的变化为:

$$ \delta_k L = 2L k' + k L' - \frac{L^2}{2} k''' $$

将此代入并分部积分后,我们可以得到荷代数。如果我们选择傅里叶基 $k_m = e^{imx^+}$,我们发现荷满足Virasoro代数

$$ \{L_m, L_n\} = -i(m-n)L_{m+n} - \frac{i}{12}c(m^3-m)\delta_{m+n,0} $$

并且可以读出中心荷 $c = \frac{3L}{2G}$

这是一个巨大的成功,因为它从一个纯粹的经典引力计算中重现了二维共形场论的量子效应(中心荷)。

四、 BTZ黑洞熵的微观解释

现在我们来讨论BTZ黑洞熵的微观解释。

卡迪公式

在二维CFT中,存在一个普适公式,用于计算足够高能量下状态的简并度。 这个公式被称为卡迪(Cardy)公式, 它是通过所谓的模不变性(modular invariance)计算出来的。

为了推导它,我们需要知道二维CFT中另一个普适的结果,即真空在圆柱体上的卡西米尔能量。 我们可以从体计算中读出这个能量,只需查看全局AdS真空的能量。我们之前说过,AdS真空对应于 $L=\bar{L}=-L^2/4$。 代入能量公式,我们得到:

$$ E_{\text{vac}} = \int d\sigma (L+\bar{L}) = -\frac{L}{8G} = -\frac{c}{6} $$

(注意:讲座中的计算似乎有误,标准结果是 $E = -\frac{c}{12R}$,对于半径为 $2\pi$ 的圆周是 $-\frac{c}{24}$。此处保持讲座推导。)

现在我们来看卡迪公式。我们考虑在有限温度下的理论的配分函数。

$$ Z(\beta, R) = \text{Tr}_{\mathcal{H}_R} e^{-\beta H} $$

这个迹可以通过在环面上的路径积分来计算,其中一个周期是空间尺寸 $R$,另一个周期是欧几里得时间 $\beta$。 由于欧几里得理论中时间和空间的对称性,我们有 $Z(\beta, R) = Z(R, \beta)$。 由于标度不变性,它只依赖于比率 $\beta/R$。 这个关系式,即模不变性,将高温下的配分函数与低温下的配分函数联系起来。

在高温极限下($\beta \to 0$),我们可以用模不变性将其与低温极限($\beta' \to \infty$)联系起来。在低温极限下,只有基态有贡献。

$$ Z(\beta) \approx e^{-\beta' E_{\text{vac}}} = e^{\frac{4\pi^2}{\beta} \frac{c}{12}} \quad (\text{当 } \beta \to 0) $$

利用热力学关系,从自由能 $F = -T \ln Z$ 出发,可以推导出熵和能量的关系。 最终结果是著名的卡迪公式,它给出了熵作为能量的函数:

$$ S(E) = 2\pi \sqrt{\frac{c E_0}{6}} $$

其中 $E_0$ 是未形变CFT中的能量。 这是一个适用于任何CFT中状态密度的普适公式。

全息匹配

现在,我们如何将其用于BTZ黑洞的微观解释? 我们在第一讲中讨论过,黑洞表现得像热力学系统,其熵由贝肯斯坦-霍金公式给出,即视界面积除以 $4G$。 对于BTZ黑洞,我们可以计算这个公式,然后将 $L$ 和 $\bar{L}$ 用能量表示,中心荷 $c$ 用AdS半径和牛顿常数表示。 你会发现它们完美匹配。 BTZ黑洞的贝肯斯坦-霍金熵,精确地等于一个中心荷为 $3L/2G$ 的CFT中的卡迪熵。

这为BTZ的熵提供了微观解释。BTZ黑洞的微观态是什么?它们基本上是对偶CFT中有限温度下的振动激发。

五、 TT-bar形变理论

动机:超越AdS的全息术

研究TT-bar形变的动机,至少对我来说,来自于全息术。 它基本上来自于试图理解超越AdS/CFT的全息术。 一种思考这个问题的方式是,我们知道CFT是通过近视界解耦极限得到的。 在某些弦理论的例子中,存在一个中间的解耦极限,可以得到一个非AdS时空,如果你将能量进一步降低,最终会得到AdS。 这个中间的非AdS时空,可以看作是深层AdS时空的一个不可归一化形变。 在对偶的图像中,这意味着什么?AdS对偶于CFT。 而一个不可归一化形变,意味着你开启了某个算符的源。由于它改变了UV物理,这一定是一个无关算符。 然而,这个由无关算符驱动的流必须非常特殊,因为它最终得到的理论本身是紫外完备的。 通常,无关形变是不可解的,并且会导致理论带有截止。 TT-bar形变恰好就是这种类型:它是一个二维理论(特别是二维CFT)的无关形变, 得到的理论似乎是紫外完备的,尽管它在紫外区是内在非局域的, 并且是完全可解的。

TT-bar算符与形变流

TT-bar是所谓的斯米尔诺夫-扎莫洛奇科夫(Smirnov-Zamolodchikov)形变的一个特例。 假设你有一个二维QFT和两个守恒流 $J_A$ 和 $J_B$,你可以构造一个算符:

$$ O_{J_A J_B} (x) = \lim_{y \to x} \epsilon^{\alpha\beta} J_{A,\alpha}(x) J_{B,\beta}(y) $$

他们证明,这个算符的奇点结构使得它在这个极限下是良定义的,其余部分都是全导数。 这个形变被定义为一个流方程:

$$ \frac{dS}{d\mu} = \int d^2x \, O_{J_A J_B}^{(\mu)} $$

其中算符本身是在形变后的理论中计算的。 TT-bar算符就是取这些流为应力能张量的分量:

$$ \text{TT-bar} \equiv \frac{1}{8} \epsilon^{\alpha\beta} \epsilon^{\gamma\delta} T_{\alpha\gamma} T_{\beta\delta} = \frac{1}{2} (\det T) $$

它可以被重写为 $T_{\alpha\beta} T^{\alpha\beta} - (T^\gamma_\gamma)^2$。

有限尺寸下的能谱

这个理论的一个可解之处在于,如果你知道原始理论在有限尺寸下的能谱,你就可以解出形变后理论的能谱。 我们把理论放在一个圆柱体上,然后研究能级的流。 利用量子力学微扰论,能级随形变参数 $\mu$ 的变化由形变算符的期望值给出:

$$ \frac{dE_n}{d\mu} = \langle n | \int d\sigma \, (\text{TT-bar}) | n \rangle $$

利用算符期望值的因子化性质,并将期望值用能量 $E_n$ 和动量 $P_n$ 表示, 我们可以得到一个关于能量的流方程。对于零动量情况,这个方程是著名的伯格斯方程(Burgers' equation)

$$ \frac{dE_n}{d\mu} = E_n \frac{dE_n}{dR} $$

这个方程的解出人意料地简单:

$$ E_n(\mu, R) = E_n(0, R + \mu E_n(\mu, R)) $$

也就是说,形变后理论在尺寸 $R$ 下的能量,等于未形变理论在有效尺寸 $R_{\text{eff}} = R + \mu E_n$ 下的能量。 对于CFT,我们知道未形变能量 $E_n(0, R) = \frac{2\pi}{R}(\Delta_n - \frac{c}{12})$。 代入后可以解出一个关于 $E_n(\mu, R)$ 的二次方程,其解为:

$$ E_n = \frac{R}{2\mu} \left( \sqrt{1 + \frac{4\mu}{R} E_n(0,R) + (\frac{2\mu}{R} P_n)^2} - 1 \right) $$

(讲座中给出了一个略有不同的形式,但本质相同)。

状态密度与Hagedorn行为

这个能谱有一些奇特的性质。例如,对于基态($\Delta=0$),如果圆柱体的半径 $R$ 太小,根号下的项会变成负数,导致能量为虚数。 这意味着理论不能被放在小于某个临界半径的圆柱体上。这表明了理论的非局域性。 由于能级只是平滑地移动,状态的简并度在流中保持不变。 这使得我们可以计算形变后理论的熵。 我们知道未形变CFT在高能下的熵由卡迪公式给出。 通过替换能量,我们可以得到形变后理论的熵-能关系。 有趣的是,在非常高的能量下,我们发现熵与能量成正比:

$$ S(E) \propto E $$

这被称为哈格顿(Hagedorn)行为,是弦理论的一个典型特征。 它意味着理论存在一个最高温度,即哈格顿温度。

六、 TT-bar的全息解释

混合边界条件

从其构造可以看出,TT-bar是一个双迹线形变。 因为CFT中的应力张量是单迹线算符,所以TT-bar是双迹线的。因此,我们期望其全息解释是关于对偶体场(在这里是度规)的某种混合边界条件。 与我们上次对标量场做的类似,通过一个场论步骤,我们可以将形变后理论的配分函数与未形变理论的配分函数联系起来,这会建立形变源与未形变源和真空期望值之间的关系。 然后,利用标准的AdS/CFT字典,将未形变的源($g^{(0)}$)和真空期望值($g^{(2)}$)与体度规的系数联系起来, 我们可以推导出形变理论所对应的边界条件。结果是,我们必须固定 $g^{(0)}$ 和 $g^{(2)}$ 的一个非线性组合:

$$ \gamma_{\alpha\beta} = g^{(0)}_{\alpha\beta} - 2\mu g^{(2)}_{\alpha\beta} + \mu^2 (g^{(2)} (g^{(0)})^{-1} g^{(2)})_{\alpha\beta} $$

其中 $\gamma_{\alpha\beta}$ 是形变后CFT所在时空的度规,它被保持固定。 这是一个非线性的混合边界条件。

值得注意的是,我们只是改变了AdS度规的边界条件,就导致了边界理论的局域性被破坏。

有限截止面上的全息术?

在纯引力的特殊情况下,这个复杂的混合边界条件恰好等价于在某个有限的径向位置 $z_c \propto \sqrt{-\mu}$ 上施加狄利克雷边界条件。 这引发了一个提议,即(对于负 $\mu$ 的)TT-bar形变与在有限截止面上的AdS引力对偶。 然而,我对这个提议持怀疑态度,原因有几个:这个巧合只在纯引力中发生,不适用于有物质场的情况;而且负 $\mu$ 的理论本身存在一些病态问题,如超光速传播。

渐进对称性

我们可以研究具有这种混合边界条件的引力相空间的渐进对称性。 我们发现存在无限多个对称性,它们构成了两个Virasoro代数,但这些对称性是相对于所谓的“场依赖坐标”定义的。

七、 单迹线TT-bar与非AdS全息术

我们最初的动机是理解由单迹线无关算符驱动的流。 因此,我们想定义一个单迹线TT-bar

D1-D5 CFT与对称乘积轨道折叠

在弦理论中AdS3/CFT2的实现(如D1-D5系统)的背景下, 人们推测在模空间的某个特定点(所谓的轨道折叠点),CFT可以被描述为一个对称乘积轨道折叠(symmetric product orbifold)理论。 这个理论由 $N$ 个相同“种子”CFT的副本构成,然后模掉副本之间的置换群 $S_N$。 在这个描述中,“规范对称性”就是这个置换群。

单迹线TT-bar

那么,单迹线TT-bar就是在这个轨道折叠理论中定义的一个算符,它是对每个副本中的TT-bar算符求和:

$$ (\text{TT-bar})_{\text{single-trace}} = \sum_{i=1}^N (\text{TT-bar})_i $$

这是一个单迹线算符,因为只有一个求和。 问题是,这个描述只在弱耦合的轨道折叠点有效,而我们感兴趣的超引力对偶对应于强耦合区域,那里的对称乘积结构被破坏了。

小弦理论与普适特征

尽管如此,当我们研究某些非AdS的引力背景时——这些背景被认为与所谓的小弦理论(Little String Theory)对偶—— 我们发现了一些惊人的普适特征。 例如,这些时空中的黑洞的热力学(熵-能关系)精确地匹配了单迹线TT-bar理论的预测,包括哈格顿行为。 此外,这些时空的渐进对称性也与单迹线TT-bar的场依赖Virasoro对称性相匹配。 这表明,对偶理论虽然不是严格的单迹线TT-bar,但却与它共享一些关键的普适特征。

展望:渐近平坦黑洞

更进一步,我们可以看看渐近平坦的带电黑洞。 如果你画出它们的温度-能量关系图,你会发现一个典型的曲线,其中存在一个最高温度。 AdS/CFT极限对应于极低能量区域。 小弦理论的解耦极限对应于将最高温度点推向无穷远的区域。 这表明,也许TT-bar类型的理论可以用来描述近极值黑洞(在它们具有正比热的区域)的物理。 这或许为我们理解一般黑洞的热力学提供了一个新的思路。

好的。我想我的讲座就到这里结束了。非常感谢大家。